Question

2．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=6，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為18$\sqrt{3}$．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面積；
（2）求異面直線BC₁與AA₁所成角的大�。�

Answer 1

分析 （1）通過三棱柱的體積求出底面積，通過三角形的面積求出$BC=2\sqrt{3}$，然后求解三棱柱的表面積．
（2）說明∠BC₁C為異面直線BC₁與AA₁所成的角通過解三角形求解即可．

解答 解：（1）因?yàn)槿�棱柱的體積為$18\sqrt{3}$，AA₁=6．S_△ABC•AA₁=18$\sqrt{3}$．
從而${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}B{C^2}=3\sqrt{3}$，因此$BC=2\sqrt{3}$．…（2分）
該三棱柱的表面積為${S_全}=2•{S_{△ABC}}+{S_側(cè)}=6\sqrt{3}+36\sqrt{3}=42\sqrt{3}$．…（4分）
（2）由（1）可知$BC=2\sqrt{3}$
因?yàn)镃C₁∥AA₁．所以∠BC₁C為異面直線BC₁與AA₁所成的角，…（8分）
在Rt△BC₁C中，$tan∠B{C_1}C=\frac{{2\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以∠BC₁C=$\frac{π}{6}$．
異面直線BC₁與AA₁所成的角$\frac{π}{6}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱的體積求法，表面積的求法，異面直線所成角的求法，考查計(jì)算能力．