Question

8．定義在R上的奇函數(shù)f（x），對于?x∈R，都有f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），且滿足f（5）＞-2，f（2）=m-$\frac{3}{m}$，則實數(shù)m的取值范圍是{m|m＜-1，或0＜m＜3}．

Answer 1

分析 根據(jù)f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），然后用$\frac{3}{2}$+x代換x便可得到f（3+x）=-f（x），再用3+x代換x便可得出f（x+6）=f（x），從而便得到f（x）是以6為周期的周期函數(shù)，這樣即可得到不等式m-$\frac{3}{m}$＜2，解得便可得出實數(shù)m的取值范圍

解答 解：∵f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x）；
用$\frac{3}{2}$+x代換x得：f（3+x）=f（-x）=-f（x）；
用3+x代換x得：f（x+6）=-f（x+3）=f（x）；
即f（x）=f（x+6）；
∴函數(shù)f（x）是以6為周期的周期函數(shù)；
∴f（5）=f（-1）＞-2，f（1）=-f（-1）=f（-1+3）=f（2）＜2；
∴m-$\frac{3}{m}$＜2；
解得m＜-1，或0＜m＜3；
∴實數(shù)m的取值范圍為{m|m＜-1，或0＜m＜3}．
故答案為：{m|m＜-1，或0＜m＜3}．

點評 考查奇函數(shù)的定義，已知f（x）求f[g（x）]的方法，周期函數(shù)的定義，以及分式不等式的解法