Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³+3x-4．
（Ⅰ）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（Ⅱ）證明：曲線y=g（x）=f（x）+3a（x²-2x+4）（a∈R）在x=0處的切線過定點(diǎn)；
（Ⅲ）若g（x）在x=x₀處取得極小值，且x₀∈（1，3），求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x），判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，得出函數(shù)的單調(diào)性．
（Ⅱ）化簡函數(shù)g（x），求出導(dǎo)函數(shù)，求出切點(diǎn)與斜率，得到切線方程，然后推出定點(diǎn)．
（Ⅲ）利用已知條件，通過令h（x）=x²+2ax+（1-2a），列出不等式組，即可求解a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）在定義域R上單調(diào)遞增．                          …（2分）
（Ⅱ）g（x）=x³+3x-4+3a（x²-2x+4）=x³+3ax²+（3-6a）x+12a-4，
g′（x）=3x²+6ax+（3-6a），
由g（0）=12a-4，g′（0）=3-6a得
曲線y=g（x）在x=0處的切線方程為y=（3-6a）x+12a-4，
由此知曲線y=g（x）在x=0處的切線過點(diǎn)（2，2）．           …（7分）
（Ⅲ）由g?（x）=0得x²+2ax+（1-2a）=0，
∵g（x）在x=x₀處取得極小值，且x₀∈（1，3），
∴方程x²+2ax+（1-2a）=0較大的根在區(qū)間（1，3）內(nèi)．
令h（x）=x²+2ax+（1-2a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4（1-2a）＞0}\\{1＜-a＜3}\\{h（1）=1+2a+1-2a＞0}\\{h（3）=9+6a+1-2a＞0}\end{array}\right.$   解得-$\frac{5}{2}$＜a＜-$\sqrt{2}$-1，
∴a的取值范圍是（-$\frac{5}{2}$，-$\sqrt{2}$-1）．       …（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．