Question

2．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上點(diǎn)A（-1，0），B（1，0）的距離之和等于2$\sqrt{2}$．
（1）試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C．
（2）設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的第一定義，可得P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，求得a，b，c，即可你到底所求軌跡方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，解方程可得M，N的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式解方程可得斜率k，進(jìn)而得到直線方程．

解答 解：（1）由|AB|=2＜|PA|+|PB|=2$\sqrt{2}$，
根據(jù)橢圓的第一定義，可得P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
且2a=2$\sqrt{2}$，即a=$\sqrt{2}$，c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）將直線l：y=kx+1代入橢圓方程x²+2y²=2，
可得（1+2k²）x²+4kx=0，
解得x₁=0，x₂=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，
可得M（0，1），N（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$），
由題意可得|MN|=$\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+（\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}-1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得k=±1，即有直線l的方程為y=±x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的第一定義，考查弦長(zhǎng)的求法，注意運(yùn)用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．