Question

19．己知向量$\overrightarrow m=（{\sqrt{3}sin\frac{x}{4}，1}），\overrightarrow n=（{cos\frac{x}{4}，{{cos}^2}\frac{x}{4}}）$，記.$f（x）=\overrightarrow m.\overrightarrow n$
（1）若$cos（{\frac{2π}{3}-x}）$=$-\frac{1}{2}$，求$f（x）=\overrightarrow m.\overrightarrow n$的值；
（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）解析式化簡，利用誘導公式和二倍角公式計算sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）；
（2）根據(jù)正弦定理將邊化角得出B，用A表示出C，根據(jù)銳角三角形求出A的范圍，代入f（x）解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出f（A）的最值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$cos$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
∵$cos（{\frac{2π}{3}-x}）$=cos（π-（x+$\frac{π}{3}$））=-cos（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∵cos（x+$\frac{π}{3}$）=1-2sin²（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$），∴sin（$\frac{x}{2}+\frac{π}{6}$）=$±\frac{1}{2}$．
∴f（x）=0或1．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sinA．
∵sinA≠0，
∴$cosB=\frac{1}{2}，B=\frac{π}{3}$，
∴$A+C=\frac{2π}{3}$，即C=$\frac{2π}{3}-A$．
∵△ABC為銳角三角形，
∴$0＜{A}＜\frac{π}{2}$且 $0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜{A}＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}＜\frac{A}{2}+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{12}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜sin（{\frac{A}{2}+\frac{π}{6}}）＜\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
又∵f（x）=$\overrightarrow m\overrightarrow{•n}$=$sin（{\frac{x}{2}+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$，∴f（A）=$sin（{\frac{A}{2}+\frac{π}{6}}）+\frac{1}{2}$．
∴函數(shù)f（A）的取值范圍是$（{\frac{{\sqrt{2}+2}}{2}，\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}}{4}}）$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，解三角形，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．