Question

3．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁•a₂•a₃…a_n=2${\;}^{_{n}}$（n∈N^*），若{a_n}為等比數(shù)列，且a₁=2，b₃=3+b₂．
（1）求a_n和b_n；
（2）設(shè)c_n=$\frac{_{n}-{a}_{n}}{{a}_{n}•_{n}}$（n∈N^*），記數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，利用數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁•a₂•a₃…a_n=2${\;}^{_{n}}$（n∈N^*），a₁=2，可得b₁=1，${a}_{2}={2}^{_{2}-_{1}}$=2q＞0，${a}_{3}={2}^{_{3}-_{2}}$=2q²，解得q=2．可得a_n=2ⁿ．進而得到b_n．
（2）c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用等比數(shù)列的前n項和公式、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁•a₂•a₃…a_n=2${\;}^{_{n}}$（n∈N^*），a₁=2，
∴${a}_{1}={2}^{_{1}}$，${a}_{1}{a}_{2}={2}^{_{2}}$，${a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}={2}^{_{3}}$，
∴b₁=1，${a}_{2}={2}^{_{2}-_{1}}$=2q＞0，${a}_{3}={2}^{_{3}-_{2}}$=2q²，
又b₃=3+b₂．∴2³=2q²，解得q=2．
∴a_n=2ⁿ．
∴${2}^{_{n}}$=a₁•a₂•a₃…a_n=2×2²×…×2ⁿ=${2}^{\frac{n（n+1）}{2}}$，
∴$_{n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
（2）c_n=$\frac{_{n}-{a}_{n}}{{a}_{n}•_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}}-2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和為S_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$-$2[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$1-\frac{1}{{2}^{n}}$-2+$\frac{2}{n+1}$
=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-1．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推式的應(yīng)用、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．