Question

8．三棱錐D-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，AC⊥AB，△DBC是邊長為4的正三角形，若平面ABC⊥平面DBC，則該球的表面積為$\frac{64π}{3}$．

Answer 1

分析 由已知可得：△ABC的外接圓的半徑為2，利用△ABC和△DBC所在平面相互垂直，球心在BC邊的高上，設(shè)球心到平面ABC的距離為h，則h²+4=R²=（2$\sqrt{3}$-h）²，求出球的半徑，即可求出球O的表面積．

解答 解：AC⊥AB，BC=4
∴△ABC的外接圓的半徑為2，
∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，
∴球心在BC邊的高上，
設(shè)球心到平面ABC的距離為h，
則h²+3=R²=（2$\sqrt{3}$-h）²，
∴R=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴球O的表面積為4πR²=$\frac{64π}{3}$．
故答案為：$\frac{64π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定球的半徑是關(guān)鍵．