Question

2．在△ABC中，AB=4，BC=6$\sqrt{2}$，∠CBA=$\frac{π}{4}$，．若雙曲線Γ以AB為實(shí)軸，且過點(diǎn)C，則Γ的焦距為8．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出C的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求得b²的值，再結(jié)合隱含條件得答案．

解答 解：如圖，設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，
則由題意，2a=4，a=2，
在△ABC中，AB=4，BC=6$\sqrt{2}$，∠CBA=$\frac{π}{4}$，
∴C的橫坐標(biāo)為-（$\frac{\sqrt{2}}{2}BC$-2）=-4，縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{2}}{2}BC=6$．
∵雙曲線過點(diǎn)C，
則$\frac{16}{4}-\frac{36}{^{2}}=1$，解得：b²=12，
∴c²=a²+b²=16，c=4．
則Γ的焦距為8．
故答案為：8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是中檔題．