Question

14．已知0＜a＜1，且函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀．
（1）求sin2x₀的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)0＜x＜x₀，不等式5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立？若存在，求t的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象判斷x₀的范圍得出2x₀的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性討論sin2x₀的最值；
（2）當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)大于指數(shù)函數(shù)，將不等式移項(xiàng)后得5ta^x＞（3t-4）log_ax，故兩系數(shù)前正后負(fù)，列不等式解出t的范圍．

解答 解：（1）分別作函數(shù)y=a^x及y=log_ax的圖象如圖，設(shè)它們的交點(diǎn)為P（x₀，y₀），顯然x₀＜1，y₀＜1，
而y₀=log_ax₀＜1=log_aa，又0＜a＜1，∴x₀＞a，即a＜x₀＜1．∴2a＜2x₀＜2．
若π-2a≥2，即0＜a≤$\frac{π}{2}-1$時(shí)，sin2a≤sin2x₀≤1，
若π-2a＜2，即$\frac{π}{2}-1$＜a＜1時(shí)，sin2≤sin2x₀≤1．
（2）當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，log_ax＞a^x＞0，
假設(shè)存在符合條件的t，使得5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立，則5ta^x＞（3t-4）log_ax恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5t≥0}\\{3t-4≤0}\end{array}\right.$，解得0≤t≤$\frac{4}{3}$．
∴t的范圍是[0，$\frac{4}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．