Question

14．已知0＜a＜1，且函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象的交點的橫坐標為x₀．
（1）求sin2x₀的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)t，當0＜x＜x₀，不等式5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立？若存在，求t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象判斷x₀的范圍得出2x₀的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對稱性討論sin2x₀的最值；
（2）當0＜x＜x₀時，對數(shù)函數(shù)大于指數(shù)函數(shù)，將不等式移項后得5ta^x＞（3t-4）log_ax，故兩系數(shù)前正后負，列不等式解出t的范圍．

解答 解：（1）分別作函數(shù)y=a^x及y=log_ax的圖象如圖，設(shè)它們的交點為P（x₀，y₀），顯然x₀＜1，y₀＜1，
而y₀=log_ax₀＜1=log_aa，又0＜a＜1，∴x₀＞a，即a＜x₀＜1．∴2a＜2x₀＜2．
若π-2a≥2，即0＜a≤$\frac{π}{2}-1$時，sin2a≤sin2x₀≤1，
若π-2a＜2，即$\frac{π}{2}-1$＜a＜1時，sin2≤sin2x₀≤1．
（2）當0＜x＜x₀時，log_ax＞a^x＞0，
假設(shè)存在符合條件的t，使得5ta^x+（4-3t）log_ax＞0恒成立，則5ta^x＞（3t-4）log_ax恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5t≥0}\\{3t-4≤0}\end{array}\right.$，解得0≤t≤$\frac{4}{3}$．
∴t的范圍是[0，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．