Question

7．已知兩條直線l₁：y=a和l₂：y=$\frac{18}{2a+1}$（其中a＞0），若直線l₁與函數(shù)y=|log₄x|的圖象從左到右相交于點A，B，直線l₂與函數(shù)y=|log₄x|的圖象從左到右相交于點C，D．記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為 m，n．令f（a）=log₄$\frac{n}{m}$．
（1）求f（a）的表達式；
（2）當(dāng)a變化時，求出f（a）的最小值，并指出取得最小值時對應(yīng)的a的值．

Answer 1

分析 （1）用a表示出A，B，C，D四點的橫坐標(biāo)，計算$\frac{n}{m}$的值，
（2）使用基本不等式解出f（a）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
則${x}_{A}={4}^{-a}，{x}_{B}={4}^{a}，{x}_{C}={4}^{-\frac{18}{2a+1}}，{x}_{D}={4}^{\frac{18}{2a+1}}$，
則$\frac{n}{m}=\frac{{4}^{a}-{4}^{\frac{18}{2a+1}}}{{4}^{-a}-{4}^{-\frac{18}{2a+1}}}=\frac{{4}^{a}-{4}^{\frac{18}{2a+1}}}{\frac{1}{{4}^{a}}-\frac{1}{{4}^{\frac{18}{2a+1}}}}={4}^{a+\frac{18}{2a+1}}$∴$f（a）={log}_{4}\frac{n}{m}=a+\frac{18}{2a+1}$．
（Ⅱ）$f（a）=a+\frac{18}{2a+1}=a+\frac{1}{2}+\frac{9}{a+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$，∵a$+\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{2}$，∴f（a）≥2$\sqrt{9}$-$\frac{1}{2}$=$\frac{11}{2}$．當(dāng)且僅當(dāng)a$+\frac{1}{2}$=$\frac{9}{a+\frac{1}{2}}$即a=$\frac{5}{2}$時取等號．
所以當(dāng)$a=\frac{5}{2}$時f（a）取得最小值$f（\frac{5}{2}）=\frac{11}{2}$．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的圖象，對數(shù)運算，基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．