Question

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，經(jīng)過橢圓的左頂點A（-3，0）作斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓C于點D，交軸于點E
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P為線段AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率和左頂點，求出a，b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）直線l的方程為y=k（x+3），與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理、直線垂直，結(jié)合題意能求出結(jié)果．

解答 解：（1）由題意，a=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴c=2$\sqrt{2}$，b=1，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）設直線的方程為y=k（x+3），
代入橢圓方程，消元得（9k²+1）x²+54k²x+81k²-9=0，
∴x=-3或$\frac{3-27{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}$…（6分）
∴D（$\frac{3-27{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{6k}{9{k}^{2}+1}$），
又∵點P為AD的中點，∴P（-$\frac{27{k}^{2}}{9{k}^{2}+1}$，$\frac{3k}{9{k}^{2}+1}$），
則k_OP=-$\frac{1}{9k}$（k≠0），…（9分）
直線l的方程為y=k（x+3），令x=0，得E（0，3k），
假設存在定點Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥EQ，則k_OP•k_EQ=-1，
即-$\frac{1}{9k}$•$\frac{n-3k}{m}$=-1，
∴（9m-3）k+n=0恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m-3=0}\\{n=0}\end{array}\right.$，即m=$\frac{1}{3}$，n=0，
因此定點Q的坐標為（$\frac{1}{3}$，0）…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的定點是否存在的判斷與求法，是中檔題．