Question

19．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+4ρsinθ-8=0，橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\frac{π}{3}cosφ}\\{y=2sin\frac{π}{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．
（1）求出直線l的直角坐標(biāo)方程和C的普通方程；
（2）求C上的點(diǎn)到直線l的最短距離．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+4ρsinθ-8=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出；橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\frac{π}{3}cosφ}\\{y=2sin\frac{π}{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），即$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$，利用cos²φ+sin²φ=1即可化為普通方程．
（2）令x=cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，則點(diǎn)P（cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）到直線l的距離d=$\frac{|3cosθ+4\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-8|}{5}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ+4ρsinθ-8=0，可得直角坐標(biāo)方程為3x+4y-8=0；
橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cos\frac{π}{3}cosφ}\\{y=2sin\frac{π}{3}sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），即$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=\sqrt{3}sinφ}\end{array}\right.$，化為$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}$=1．
（2）令x=cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ，
則點(diǎn)P（cosθ，$\sqrt{3}$sinθ）到直線l的距離d=$\frac{|3cosθ+4\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-8|}{5}$≥$\frac{|5-8|}{5}$=$\frac{3}{5}$，當(dāng)sin（θ+φ）=1時取得等號．
∴C上的點(diǎn)到直線l的最短距離是$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的方法、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．