Question

1．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)A（2，0），B（-2，0），P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線PA、PB斜率之積為-$\frac{3}{4}$．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)Q（1，0）作直線l與軌跡C交于M、N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積取最大值時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{y}{x-2}$•$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{3}{4}$，化簡(jiǎn)即可得出；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直線方程與橢圓方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式公式可得三角形OMN的面積，再利用單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），依題意，有$\frac{y}{x-2}$•$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{3}{4}$…（3分）
化簡(jiǎn)并整理，得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x≠±2）
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=（x≠±2）$…（4分）
（2）依題意，直線l過點(diǎn)Q（1，0）且斜率不為零，故可設(shè)其方程為x=my+1…（5分）
聯(lián)立直線與橢圓并整理得到（3m²+4）y²+6my-9=0…（6分）
顯然△＞0，設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
根據(jù)韋達(dá)定理，y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$…（7分）
∴△OMN面積S=$\frac{1}{2}$|OQ||y₁-y₂|=$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$…（9分）
不妨設(shè)$\sqrt{{m^2}+1}=t，（t≥1）$，則S=$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$=$\frac{6}{3t+\frac{1}{t}}$
∵t≥1，函數(shù)$f（t）=3t+\frac{1}{t}$在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，S=$\frac{6}{3t+\frac{1}{t}}$為減函數(shù)，
∴${S_{△OMN}}=\frac{6}{{3t+\frac{1}{t}}}≤\frac{6}{3+1}=\frac{3}{2}$…（11分）
此時(shí)t=1，m=0，所以直線l的方程為x=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．