Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+3x ，x≥0 3x-x2 ， x＜0

，若f（a²-6）+f（-a）＞0，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先根據(jù)二次函數(shù)的解析式分別研究分段函數(shù)在各自區(qū)間上的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，再研究函數(shù)的奇偶性，由此性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解不等式，解出a的范圍即可．

解答： 解：函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0 時，f（x）=x²+3x，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，它在[0，+∞）上是增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時，f（x）=3x-x²，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，它在（-∞，0）上是增函數(shù)，
該函數(shù)連續(xù)，則函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
且f（x）=3x+x|x|，則f（-x）=-f（x），即f（x）為奇函數(shù)．
∵f（a²-6）+f（-a）＞0，∴f（a²-6）＞-f（-a），
即有f（a²-6）＞f（a），即有a²-6＞a，
解得a＞3或a＜-2．
則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-2）∪（3，+∞）
故答案為：（-∞，-2）∪（3，+∞）

點評：本題是奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的一類最主要的題型，利用奇偶性和單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．