Question

19．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+b（x≠0）$，其中a，b∈R．若對于任意的$a∈[{\frac{1}{2}，2}]$，不等式f（x）≤10在$x∈[{\frac{1}{4}，\sqrt{3}}]$上恒成立，則b的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，\frac{7}{4}}]$
• B． $（{-∞，10-\frac{5}{3}\sqrt{3}}]$
• C． $（{-∞，\frac{31}{4}}]$
• D． $（{-∞，10-\frac{7}{6}\sqrt{3}}]$

Answer 1

分析 根據(jù)x+$\frac{a}{x}$函數(shù)的性質(zhì)可判斷當(dāng)a最小時，x越大函數(shù)值越大，當(dāng)a越大時，x越小函數(shù)值越大，只需比較最大的即可．

解答 解：∵對于任意的$a∈[{\frac{1}{2}，2}]$，不等式f（x）≤10在$x∈[{\frac{1}{4}，\sqrt{3}}]$上恒成立，
∴當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，f（x）最大值為f（$\sqrt{3}$）=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$+b，
當(dāng)a=2時，f（x）最大值為f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{33}{4}$+b，
顯然$\frac{33}{4}$+b＞$\frac{7\sqrt{3}}{6}$+b，
∴$\frac{33}{4}$+b≤10，
∴b≤$\frac{7}{4}$，
故選A．

點評 本題考查了對抽象函數(shù)x+$\frac{a}{x}$的深刻理解和恒成立問題的轉(zhuǎn)換．恒成立問題即最值問題，牢記這一轉(zhuǎn)換．