Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{x}+a}$是R上的奇函數(shù)，且f（1）=$\frac{1}{6}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）當x∈[1，2]時，f（x）＞-x²+2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，f（0）=0以及f（1）=$\frac{1}{6}$，列出方程組求出a、b的值；
（2）函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，用定義證明即可；
（3）x∈[1，2]時，f（x）＞-x²+2x+m恒成立，轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性求函數(shù)
g（x）=f（x）+（x²-2x）在[1，2]上的最小值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{x}+a}$是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即$\frac{1}{2}$-$\frac{1+a}$=0①；
又f（1）=$\frac{1}{6}$，∴$\frac{1}{2}$-$\frac{2+a}$=$\frac{1}{6}$②；
由①、②組成方程組，解得a=1，b=1；
∴函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
（2）f（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)，用定義證明如下；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂，∴${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）是定義域R上的增函數(shù)；
（3）當x∈[1，2]時，
f（x）＞-x²+2x+m恒成立，
即m＜f（x）+（x²-2x）恒成立；
設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+（x²-2x），
則該函數(shù)在[1，2]上是單調(diào)增函數(shù)，
∴g（x）的最小值是g（x）_min=g（1）=f（1）+（1²-2×1）=$\frac{1}{6}$-1=-$\frac{5}{6}$，
∴實數(shù)m的取值范圍是m＜-$\frac{5}{6}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷與應(yīng)用問題，也考查了不等式的恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．