Question

9．在平面直角坐標系中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（$\sqrt{2}$，0），離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是橢圓C的頂點），點D在橢圓C上，且AD⊥AB，直線BD與x軸、y軸分別交于M、N兩點，設直線BD，AM的斜率分別為k₁，k₂，證明：存在常數(shù)λ使得k₁=λk₂，并求出λ的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設直線AB的方程為：y=kx，A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），D（x₂，y₂）．直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立解得A，B的坐標，可得直線AD的方程，與橢圓方程聯(lián)立可得D的坐標，可得直線BD的方程，再利用斜率計算公式即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{3}$，b=1．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）證明：設直線AB的方程為：y=kx，A（x₁，y₁），B（-x₁，-y₁），D（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}，\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$，B$（\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}，\frac{-\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$．
∵AD⊥AB，∴直線AD的方程為：y-$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$=$-\frac{1}{k}$$（x-\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$．
化為y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{k\sqrt{1+3{k}^{2}}}$．
代入橢圓方程可得：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$[-\frac{1}{k}x+\frac{\sqrt{3}（1+{k}^{2}）}{k\sqrt{1+3{k}^{2}}}]^{2}$=1，
化為：$\sqrt{1+3{k}^{2}}（{k}^{2}+3）{x}^{2}$-$6\sqrt{3}$（1+k²）x+$\frac{3（5{k}^{2}+3）}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$=0．
解得x₁=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，x₂=$\frac{\sqrt{3}（5{k}^{2}+3）}{（{k}^{2}+3）\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，
y₁=$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$．
y₂=$\frac{\sqrt{3}k（{k}^{2}-1）}{（{k}^{2}+3）\sqrt{1+3{k}^{2}}}$．
∴k_BD=$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{k}{3}$=k₁．
BD的方程為：y+$\frac{\sqrt{3}k}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$=$\frac{k}{3}$$（x+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}）$，
令y=0，解得x_M=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}$，∴M$（\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{1+3{k}^{2}}}，0）$．
∴k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{M}}$=-k．
∴3k₁=-k₂．
∴λ=-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計算公式、相互垂直的斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．