Question

1．如圖，某快遞公司送貨員從公司A處準(zhǔn)備開車送貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線．若該地各路段發(fā)生堵車與否是相互獨(dú)立的，且各路段發(fā)生堵車事件的概率如圖所示（例如A→C→D算作兩個(gè)路段；路段AC發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{6}$，路段CD發(fā)生堵車事件的概率為$\frac{1}{10}$）．
（Ⅰ）請你為其選擇一條由A到B的路線，使得途中發(fā)生堵車事件的概率較��；
（Ⅱ）若記路線A→E→F→B中遇到堵車路段的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （1）由對立事件概率計(jì)算公式，分別計(jì)算路線A→E→F→B途中堵車概率、路線A→C→D→B途中堵車概率，由此能求出選擇路線路線A→E→F→B的途中發(fā)生堵車的概率最�。�
（2）由題意，ξ可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：（1）由已知得：路線A→E→F→B途中堵車概率為：1-$\frac{4}{5}×\frac{5}{6}×\frac{4}{5}$=$\frac{7}{15}$，
路線A→C→D→B途中堵車概率為：1-$\frac{5}{6}×\frac{9}{10}×\frac{3}{5}$=$\frac{11}{20}$，
所以選擇路線路線A→E→F→B的途中發(fā)生堵車的概率最小；
由題意，ξ可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{4}{5}×\frac{5}{6}×\frac{4}{5}$=$\frac{8}{25}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{5}×\frac{5}{6}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{6}×\frac{4}{5}+\frac{4}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{28}{75}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{4}{5}+\frac{1}{5}×\frac{5}{6}×\frac{1}{5}+\frac{4}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{13}{150}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{5}×\frac{1}{6}×\frac{1}{5}$=$\frac{1}{150}$．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{8}{25}$	$\frac{28}{75}$	$\frac{13}{150}$	$\frac{1}{150}$

Eξ=0×$\frac{8}{25}$+1×$\frac{28}{75}$+2×$\frac{13}{150}$+3×$\frac{1}{150}$=$\frac{17}{30}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．