Question

3．已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n•pⁿ（p＞0），如果數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則實數(shù)p的取值范圍是p＞$\frac{n}{n+1}$；如果存在m∈N^*，對任意n∈N^*有a_n≤a_m成立，則實數(shù)p的取值范圍是$\frac{m-1}{m}$≤p≤$\frac{m}{m+1}$．

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n•pⁿ（p＞0），如果數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴滿足$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＞1，即$\frac{（n+1）•{p}^{n+1}}{n•{p}^{n}}$=$\frac{（n+1）}{n}•p$＞1，
即p＞$\frac{n}{n+1}$，
若存在m∈N^*，對任意n∈N^*有a_n≤a_m成立，
則數(shù)列{a_n}存在最大值a_m，
若p=1，則a_n=n，則數(shù)列不存在最大值，不滿足條件．
若p＞1，則a_n=n•pⁿ（p＞0），為增函數(shù)，則數(shù)列不存在最大值，不滿足條件．
若0＜p＜1，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{m+1}≤{a}_{m}}\\{{a}_{m-1}≤{a}_{m}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{（m+1）{p}^{m+1}≤m•{p}^{m}}\\{（m-1）{p}^{m-1}≤m•{p}^{m}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（m+1）p≤m}\\{m-1≤mp}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{p≤\frac{m}{m+1}}\\{p≥\frac{m-1}{m}}\end{array}\right.$，
即$\frac{m-1}{m}$≤p≤$\frac{m}{m+1}$，
故答案為：p＞$\frac{n}{n+1}$，$\frac{m-1}{m}$≤p≤$\frac{m}{m+1}$

點評 本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性的關(guān)系建立不等式是解決本題的關(guān)鍵．