Question

13．已知a，b∈R⁺，函數(shù)f（x）=|x+a|-|2x+$\frac{2}$|．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）的最大值為5，求$\frac{1}{a}$+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）去掉絕對(duì)值，求出相應(yīng)的范圍，即可求f（x）的最大值；
（2）由（1）知，a+$\frac{1}$=5，利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求$\frac{1}{a}$+b的最小值．

解答 解：（1）由于a＞0，b＞0，則a＞-$\frac{1}$，
由f（x）=|x-a|-|2x+$\frac{2}$|，
當(dāng)x＜-$\frac{1}$時(shí)，f（x）=a-x+2x+$\frac{2}$=x+a+$\frac{2}$＜a+$\frac{1}$；
當(dāng)-$\frac{1}$≤x≤a時(shí)，f（x）=a-x-2x-$\frac{2}$=-3x+a-$\frac{2}$∈[-2a-$\frac{2}$，a+$\frac{1}$]；
當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）=x-a-2x-$\frac{2}$=-x-a-$\frac{2}$＜-2a-$\frac{2}$．
∴f（x）=|x+a|-|2x+$\frac{2}$|的最大值為a+$\frac{1}$；
（2）由（1）知，a+$\frac{1}$=5，
∴$\frac{1}{a}$+b=$\frac{1}{5}$（$\frac{1}{a}$+b）（a+$\frac{1}$）=$\frac{1}{5}$（2+$\frac{a}$+$\frac{a}$）≥$\frac{1}{5}$×（2+2）=$\frac{4}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，$\frac{1}{a}$+b的最小值為$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式，考查基本不等式的應(yīng)用：求最值，正確求出f（x）的最大值和乘1法是解題的關(guān)鍵．