Question

10．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于O．連接EO，由三角形中位線定理得PA∥EO，由此能證明PA∥平面EDB．
（2）由PD⊥底面ABCD，得∠PBD為直線PB與平面ABCD所成角，由此能求出直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．

解答 證明：（1）如圖，連接AC交BD于O．連接EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
在△PAC中，∵E是PC的中點(diǎn)，∴EO是中位線，
∴PA∥EO．
而EO?平面EDB，且PA?平面EDB．
所以PA∥平面EDB．（6分）
解：（2）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，
∴由題意PD⊥底面ABCD，∴∠PBD為直線PB與平面ABCD所成角，（8分）
設(shè)PD=DC=1，在Rt△PBD中，BD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，PB=$\sqrt{2+1}=\sqrt{3}$，
∴sin∠PBD=$\frac{PD}{PB}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線PB與平面ABCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．