Question

11．已知各項(xiàng)互異的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=2，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列，則a_n=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），從而可得a₄+S₄=2q³+$\frac{2（1-{q}^{4}）}{1-q}$，a₅+S₅=2q⁴+$\frac{2（1-{q}^{5}）}{1-q}$，a₆+S₆=2q⁵+$\frac{2（1-{q}^{6}）}{1-q}$，結(jié)合a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列化簡(jiǎn)可得（1-2q）（q-1）²=0，從而解得．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），
a_n=2q^n-1，S_n=$\frac{2（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
則a₄+S₄=2q³+$\frac{2（1-{q}^{4}）}{1-q}$，a₅+S₅=2q⁴+$\frac{2（1-{q}^{5}）}{1-q}$，a₆+S₆=2q⁵+$\frac{2（1-{q}^{6}）}{1-q}$，
∵a₄+S₄，a₅+S₅，a₆+S₆成等差數(shù)列，
∴2（2q⁴+$\frac{2（1-{q}^{5}）}{1-q}$）=2q³+$\frac{2（1-{q}^{4}）}{1-q}$+2q⁵+$\frac{2（1-{q}^{6}）}{1-q}$，
即2（q⁴-q⁵+1-q⁵）=（q³-q⁴+1-q⁴）+（q⁵-q⁶+1-q⁶），
即（1-2q）（q-1）²=0，
故q=$\frac{1}{2}$，
故a_n=$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．
故答案為：$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的化簡(jiǎn)運(yùn)算能力及方程思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了高次方程的解法．