Question

6．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
（1）證明二者焦點(diǎn)相同，并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知二者的一個(gè)交點(diǎn)為P，焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，求|PF₁|的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1可得半焦距${c}_{1}=\sqrt{16-12}$，由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得半焦距c₂=$\sqrt{1+3}$，即可證明．
（2）對(duì)交點(diǎn)P分類討論，利用橢圓與雙曲線的定義即可得出．

解答 （1）證明：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1可得半焦距${c}_{1}=\sqrt{16-12}$=2，由雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可得半焦距c₂=$\sqrt{1+3}$=2，
∴c₁=c₂=2．
且焦點(diǎn)都在x軸上，為（±2，0）．
（2）①設(shè)交點(diǎn)P在第一或四象限，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，則|PF₁|-|PF₂|=2，|PF₁|+|PF₂|=8，
解得|PF₁|=5，|PF₂|=3；
②設(shè)交點(diǎn)P在第二或三象限，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，則|PF₁|-|PF₂|=-2，|PF₁|+|PF₂|=8，
解得|PF₁|=3，|PF₂|=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．