Question

11．已知如圖，ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D是AC的中點．
（1）求證：AB₁∥平面DBC₁；
（2）若AB₁⊥BC₁，求以BC₁為棱DBC₁與CBC₁為面的二面角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁C，交BC₁于點O，連結(jié)OD，由已知得OD∥AB₁，由此能證明AB₁∥平面DBC₁．
（2）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系 進行求解即可．

解答 證明：（1）連結(jié)B₁C，交BC₁于點O，連結(jié)OD，
∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，∴O是B₁C的中點，
又D是AC的中點，∴OD∥AB₁，
∵OD?平面DBC₁，AB₁?平面DBC₁，
∴AB₁∥平面DBC₁．
（2）在平面ABC內(nèi)，作DF⊥BC于F，則DF⊥面B₁BCC₁，
連接OF，則OF是OD在底面的射影，
∵AB₁⊥BC₁，∴由（1）知，AB₁∥DE，
∴DE⊥BC₁，
由三垂線逆定理得BC₁⊥EF，
則∠DOF是以BC₁為棱DBC₁與CBC₁為面的二面角的平面角，設(shè)為θ，
設(shè)AC=1，則CD=$\frac{1}{2}$，則DF=CD$•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，CF=$\frac{1}{4}$，
取BC的中點G，
∵OB=OC，∴GO⊥BC，
則GF=CF=$\frac{1}{4}$，OF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
則tan∠DOF=$\frac{DF}{OF}$=1，
即∠DOF=45°．
即二面角的平面角為45°．

點評 本題主要考查線面平行的判定，以及二面角的求解，利用線面平行的判定定理以及二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．