Question

8．設(shè)有一組圓C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k²（k∈N^*）．下列四個(gè)命題：
①存在一條定直線與所有的圓均相切；
②存在一條定直線與所有的圓均相交；
③存在一條定直線與所有的圓均不相交；
④所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．
其中真命題的序號(hào)是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 由已知圓心（k-1，3k），由兩圓的位置關(guān)系、圓心距、兩圓的半徑之差，能判斷出真命題個(gè)數(shù)．

解答 解：根據(jù)題意得：圓心（k-1，3k），
圓心在直線y=3（x+1）上，故存在直線y=3（x+1）與所有圓都相交，選項(xiàng)②正確；
考慮兩圓的位置關(guān)系，
圓k：圓心（k-1，3k），半徑為$\sqrt{2}$|k|，
圓k+1：圓心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半徑為$\sqrt{2}$（k+1）²，
兩圓的圓心距d=$\sqrt{（k-k+1）^{2}+（3k-3k-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
兩圓的半徑之差R-r=$\sqrt{2}$（k+1）²-$\sqrt{2}$k²=2$\sqrt{2}$k+$\sqrt{2}$，
任取k=1或2時(shí)，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，選項(xiàng)①錯(cuò)誤；
若k取無(wú)窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，選項(xiàng)③錯(cuò)誤；
將（0，0）帶入圓的方程，則有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N*），
因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在k使上式成立，即所有圓不過(guò)原點(diǎn)，選項(xiàng)④正確．
則真命題的代號(hào)是②④．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．