Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|f₁（x）-f₂（x）|，其中冪函數(shù)f₁（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$），且函數(shù)f₂（x）=ax+b（a，b∈R）．
（1）當(dāng)a=0，b=1時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)μ為常數(shù)，a為關(guān)于x的偶函數(shù)y=log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+μ•2^x]（x∈R）的最小值，函數(shù)f（x）在[0，4]上的最大值為u（b），求函數(shù)u（b）的最小值；
（3）若對(duì)于任意x∈[0，1]，均有|f₂（x）|≤1，求代數(shù)式（a+1）（b+1）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出冪函數(shù)的解析式以及一次函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），然后求解單調(diào)區(qū)間．
（2）利用偶函數(shù)求出μ，求出最小值a，求出函數(shù)的最大值的表達(dá)式，然后再求解最大值的表達(dá)式的最小值．
（3）利用已知條件，轉(zhuǎn)化求出b的范圍，然后通過(guò)基本不等式以及函數(shù)的最值，通過(guò)分類(lèi)討論求解即可．

解答 解：（1）冪函數(shù)f₁（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，$\sqrt{2}$），可得$\sqrt{2}={2}^{a}$，a=$\frac{1}{2}$．f₁（x）=$\sqrt{x}$，函數(shù)f₂（x）=1．
函數(shù)f（x）=|$\sqrt{x}$-1|=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-1，x≥1\\ 1-\sqrt{x}，0≤x＜1\end{array}\right.$，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間：[0，1）．
（2）y=log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+μ•2^x]是偶函數(shù)，可得log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+μ•2^x]=log₄[（$\frac{1}{2}$）^-x+μ•2^-x]，
可得μ=1．
∴y=log₄[（$\frac{1}{2}$）^x+2^x]，（$\frac{1}{2}$）^x+2^x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=0，函數(shù)取得最小值a=$\frac{1}{2}$．f₁（x）=$\sqrt{x}$，函數(shù)f₂（x）=$\frac{1}{2}x$+b．函數(shù)f（x）=|f₁（x）-f₂（x）|=|$\sqrt{x}$$-\frac{1}{2}x$-b|，x∈[0，4]，
令h（x）=$\sqrt{x}$$-\frac{1}{2}x$-b，x∈[0，4]，h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}$，令$\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2}$=0，解得x=1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0
函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)x∈（1，4）時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)．
h（x）的極大值為：h（1）=$\frac{1}{2}-b$，最小值為h（0）=h（4）=-b，
函數(shù)f（x）在[0，4]上的最大值為u（b）=$\left\{\begin{array}{l}b，b＞\frac{1}{4}\\ \frac{1}{2}-b，b≤\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
函數(shù)u（b）的最小值：$\frac{1}{4}$．
（3）對(duì)于任意x∈[0，1]，均有|f₂（x）|≤1，即對(duì)于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
當(dāng)a＞0時(shí)，顯然b≥1不成立，
①當(dāng)1＞b≥0時(shí)，對(duì)于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，0≤a≤1，
可得0＜a+b≤1，則（a+1）（b+1）≤$（{\frac{a+1+b+1}{2}）}^{2}$≤$\frac{9}{4}$，此時(shí)a=b=$\frac{1}{2}$．
（a+1）（b+1）∈[1，$\frac{9}{4}$]．
②b∈[-$\frac{1}{2}$，0），對(duì)于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
轉(zhuǎn)化為：0≤a+b≤1，則（a+1）（b+1）∈[$\frac{3}{4}$，2），a=1，b=0時(shí)（a+1）（b+1）取最大值2．a(chǎn)=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{1}{2}$
，（a+1）（b+1）取得最小值$\frac{3}{4}$．
③b∈[-1，-$\frac{1}{2}$），對(duì)于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
轉(zhuǎn)化為：x=0，|b|≤1恒成立．-1＜a+b≤1，
（a+1）＞0，（b+1）＞0，則（a+1）（b+1）≤$（{\frac{a+1+b+1}{2}）}^{2}$，$\frac{1}{4}$≤$（{\frac{a+1+b+1}{2}）}^{2}$≤$\frac{9}{4}$，
則（a+1）（b+1）∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]，
④當(dāng)b＜-1時(shí)，對(duì)于任意x∈[0，1]，|ax+b|≤1，不恒成立．
當(dāng)a=0時(shí)，可得|b|≤1，（a+1）（b+1）∈[0，2]．
當(dāng)a＜0時(shí)，如果|b|＞1，對(duì)于任意x∈[0，1]，不恒有|ax+b|≤1，
則|b|≤1，當(dāng)0≤b≤1時(shí)，a∈[-1，0）對(duì)于任意x∈[0，1]，均有|ax+b|≤1，
a+1∈[0，1），b+1∈[1，2]．（a+1）（b+1）∈[0，2）．
-1＜b＜0，可得|a+b|≤1．可得-1≤a+b≤1，a+1∈[0，1），b+1∈（0，1）．
（a+1）（b+1）∈（0，1）．
綜上：代數(shù)式（a+1）（b+1）的取值范圍：[0，$\frac{9}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值，分類(lèi)討論以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．