Question

6．如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是正方體對(duì)角線D₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱CC₁上．
（1）當(dāng)2|C₁N|=|NC|時(shí)，求|MN|；
（2）當(dāng)點(diǎn)N在棱CC₁上移動(dòng)時(shí)，求|MN|的最小值并求此時(shí)的N點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），N（0，1，$\frac{2}{3}$），由此能求出|MN|．
（2）當(dāng)MN是BD₁和CC₁的公垂線時(shí)，|MN|取最小值，由此得到當(dāng)N是CC₁中點(diǎn)時(shí)，|MN|取最小值．

解答 解：（1）∵如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，
正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M是正方體對(duì)角線D₁B的中點(diǎn)，
點(diǎn)N在棱CC₁上，2|C₁N|=|NC|，
∴D₁（0，0，1），B（1，1，0），M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），N（0，1，$\frac{2}{3}$），
∴|MN|=$\sqrt{（0-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{2}{3}-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{6}$．
（2）∵點(diǎn)M是正方體對(duì)角線D₁B的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱CC₁上移動(dòng)時(shí)，
∴當(dāng)MN是BD₁和CC₁的公垂線時(shí)，|MN|取最小值，
∴當(dāng)N是CC₁中點(diǎn)時(shí)，|MN|取最小值，
此時(shí)N（0，1，$\frac{1}{2}$），|MN|_min=$\sqrt{（0-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查兩點(diǎn)間距離的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．