Question

10．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為2，P是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱CC₁上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）點(diǎn)Q在何位置時(shí)，直線D₁Q，DC，AP交于一點(diǎn)，并說明理由；
（2）求三棱錐B₁-DBQ的體積；
（3）若點(diǎn)Q是棱CC₁的中點(diǎn)時(shí)，記過點(diǎn)A，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得截面為S，求截面S的面積．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AP交DC于M，連結(jié)D₁M交C₁C于點(diǎn)Q，根據(jù)相似三角形得出$\frac{CQ}{D{D}_{1}}$的比值，找出Q的位置；
（2）把△BB₁Q當(dāng)做棱錐的底面，則棱錐的高為DC，代入體積公式計(jì)算；
（3）連結(jié)AD₁，則截面為等腰梯形APQD₁，求出梯形的上下底和高，代入面積公式計(jì)算．

解答 解：（1）當(dāng)Q是C₁C中點(diǎn)時(shí)，直線D₁Q，DC，AP交于一點(diǎn)．理由如下：
延長(zhǎng)AP交DC于M，連結(jié)D₁M交C₁C于點(diǎn)Q，∵CP∥AD，∴△MCP∽△MDA，∴$\frac{MC}{MD}=\frac{CP}{AD}=\frac{1}{2}$．
∵CQ∥D₁D，∴△MCQ∽△MDD₁，∴$\frac{CQ}{D{D}_{1}}$=$\frac{MC}{MD}=\frac{1}{2}$，∴Q是C₁C中點(diǎn)．
（2）V${\;}_{棱錐{B}_{1}-DBQ}$=V${\;}_{棱錐D-B{B}_{1}Q}$=$\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}Q}$•CD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．
（3）連結(jié)AD₁，則過點(diǎn)A，P，Q三點(diǎn)的平面截正方體所得截面是梯形APQD₁，
DD₁=$\sqrt{2}AD$=2$\sqrt{2}$，PQ=$\frac{1}{2}A{D}_{1}$=$\sqrt{2}$，AP=$\sqrt{A{B}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$，QD₁=$\sqrt{{D}_{1}{{C}_{1}}^{2}+Q{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∴梯形APQD₁的高h(yuǎn)=$\sqrt{A{P}^{2}-[\frac{1}{2}（A{D}_{1}-PQ）]{\;}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴S=$\frac{1}{2}$（PQ+AD₁）•h=$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面的基本性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．