Question

20．如圖，在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，AD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，則△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=a，∠BAD=θ，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{cosθ}=AD=\sqrt{2}}\\{\frac{a}{cos2θ}=AC=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，由此求出cos$θ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，進(jìn)而求出AB和AC，從而能求出△ABC的面積．

解答 解：設(shè)AB=a，∠BAD=θ，
∵在△ABC中，∠B=$\frac{π}{2}$，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，AD=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{cosθ}=AD=\sqrt{2}}\\{\frac{a}{cos2θ}=AC=\sqrt{6}}\end{array}\right.$，整理，得$\frac{cos2θ}{cosθ}$=$\frac{2co{s}^{2}θ}{cosθ}$=2cosθ-$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)cosθ=x，解方程2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，或x=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵0°＜θ＜90°，∴x＞0，∴cos$θ=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=a=ADcos$θ=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}×AB×AC=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．