【題目】已知在區(qū)間上的值域.

(1)求的值;

(2)若不等式上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若函數(shù)有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】試題分析:

1根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向及對稱軸與區(qū)間的關(guān)系得到函數(shù)的最值后,根據(jù)條件可得.(2由已知可得上恒成立,

分離參數(shù)可得上恒成立,換元令,則,可得上恒成立,構(gòu)造函數(shù)得到的最小值為.(3)由題意可得方程有三個不同的根,令,則得,根據(jù)函數(shù)有3個零點可得方程有兩個不同的實數(shù)解,且,或.然后根據(jù)方程根的分布得到不等式可得所求范圍.

試題解析:

(1)由題意得,在區(qū)間上值域

①當(dāng)時,

的最小值為

,解得

,

此時,滿足在區(qū)間上值域.

②當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞減,

的最小值為,

,解得,不合題意,舍去.

③當(dāng)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

的最小值為

,解得.不合題意,舍去.

綜上

(2)由已知可得上恒成立,

可得化為上恒成立,

,

,故,

上恒成立,

,

在區(qū)間上單調(diào)遞減,

所以,

所以的取值范圍是.

(3)由題意得函數(shù)有三個零點,

故方程有三個不同的根,

, ,

,

∴當(dāng)時, 的范圍且單調(diào)遞減;

當(dāng)的范圍且單調(diào)遞增;

當(dāng),

當(dāng)的范圍且單調(diào)遞增.

有兩個不同的實數(shù)解,

已知函數(shù)3個零點等價于其中,或.

① 或

解不等組①,得,而不等式組②無實數(shù)解,

所以實數(shù)的取值范圍是.

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------

------

+------

代入

)類比上述推證方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:

;

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