Question

4．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$sinx），$\overrightarrow$=（sinx，cosx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（Ⅰ）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，求x的值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的最大值及此時相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|列出方程解出x；（2）求出f（x）的解析式并化簡，根據(jù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律得到g（x），結(jié)合正弦函數(shù)圖象得出g（x）的最大值及x的值．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|²=sin²x+3sin²x=4sin²x，|$\overrightarrow$|²=sin²x+cos²x=1．
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，∴4sin²x=1，sin²x=$\frac{1}{4}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴sinx=$\frac{1}{2}$，x=$\frac{π}{6}$．
（2）f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x$+\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]．
∴當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{6}$時，g（x）取得最大值$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．