Question

14．已知：如圖①，直線y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$與x軸、y軸分別交于A、B兩點，兩動點D、E分別從A、B兩點同時出發(fā)向O點運動（運動到O點停止，如圖②）；對稱軸過點A且頂點為M的拋物線y=a（x-k）²+h（a＜0）始終經(jīng)過點E，過E作EG∥OA交拋物線于點G，交AB于點F，連結DE、DF、AG、BG，設D、E的運動速度分別是1個單位長度/秒和$\sqrt{3}$個單位長度/秒，運動時間為t秒．

（1）用含t代數(shù)式分別表示BF、EF、AF的長；
（2）當t為何值時，四邊形ADEF是菱形？
（3）當△ADF是直角三角形，且拋物線的頂點M恰好在BG上時，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （1）首先求出一次函數(shù)y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$與x軸、y軸的交點A、B的坐標，然后解直角三角形求出BF、EF、AF的長；
（2）由EF∥AD，且EF=AD=t，則四邊形ADEF為平行四邊形，若四邊形ADEF為菱形，則DE=AD=t，由DE=2DO列式求得t值；
（3）當△ADF是直角三角形時，有兩種情況，需分類討論，①若∠ADF=90°時，如圖，則有DF∥OB．然后由圖形列式求出t值，再求出G的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BG的方程，求出點M的坐標，再利用頂點式求出拋物線的解析式；
②若∠AFD=90°，采用①的思路進行求解．

解答 解：（1）在y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$中，分別令x=0、y=0求得A（1，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=1，OB=$\sqrt{3}$，
∴tan$∠OAB=\sqrt{3}$，則∠OAB=60°，
∴AB=2OA=2，
∵EG∥OA，∴∠EFB=∠OAB=60°，
∴EF=$\frac{BE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=t$，
BF=2EF=2t，EF=t，AF=AB-BF=2-2t（0≤t≤1）；
（2）在Rt△DOE中，EO=$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，DO=1-t，
∴DE═$\sqrt{E{O}^{2}+D{O}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{3}-\sqrt{3}t）^{2}+（1-t）^{2}}=2（1-t）$，
∵EF=t，AD=t，EG∥OA，∴四邊形ADEF為平行四邊形．
若四邊形ADEF為菱形，則有AD=DE，∴t=2（1-t），
解之得t=$\frac{2}{3}$，即當t=$\frac{2}{3}$時四邊形ADEF為菱形；
（3）①當∠ADF=90°時，如圖，則有DF∥OB．
∴$\frac{DF}{OB}=\frac{AD}{AO}$，即$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=\frac{t}{1}$，
∴t=$\frac{1}{2}$，
又由對稱性可知EG=2AO=2，
∴B（0，$\sqrt{3}$），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），G（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
設直線BG的解析式為y=kx+b，把B、G兩點的坐標代入有：
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=b}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=2k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{3}}\\{k=-\frac{\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$．
∴$y=-\frac{\sqrt{3}}{4}x+\sqrt{3}$，
令x=1，則y=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，∴M（1，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
設所求拋物線的解析式為$y=a（x-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，又E（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}=a（0-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解之得$a=-\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故所求解析式為$y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}$；
②當∠AFD=90°時，如圖，
在Rt△ADF中，∠ADF=30°，
由AD=t，∴AF=$\frac{1}{2}$t，
由（1）有AF=2-2t，
∴$\frac{1}{2}t=2-2t$，解得：t=$\frac{4}{5}$．
∴B（$0，\sqrt{3}$），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），G（2，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），
設直線BG的解析式為y=mx+n，把B、G兩點的坐標代入有：
$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{3}}\\{2m+n=\frac{\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$，解之得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\sqrt{3}}\\{m=-\frac{2\sqrt{3}}{5}}\end{array}\right.$．
∴$y=-\frac{2\sqrt{3}}{5}x+\sqrt{3}$．
令x=1，則y=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$，∴M（1，$\frac{3\sqrt{3}}{5}$）．
設所求拋物線的解析式為$y=a（x-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{5}$．
又E（0，$\frac{\sqrt{3}}{5}$），∴$\frac{\sqrt{3}}{5}=a（0-1）^{2}+\frac{3\sqrt{3}}{5}$，解得a=-$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．
故所求解析式為$y=-\frac{2\sqrt{3}}{5}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{5}x+\frac{\sqrt{3}}{5}$．
綜上所求函數(shù)的解析式為：$y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}$或$y=-\frac{2\sqrt{3}}{5}{x}^{2}+\frac{4\sqrt{3}}{5}x+\frac{\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質，考查直線與拋物線的位置關系，訓練了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，注意（3）中的分類討論，是中檔題．