Question

8．（理科學(xué)生做）甲、乙、丙三名學(xué)生參加A，B兩所大學(xué)的自主招生考試，假設(shè)他們能通過A大學(xué)考試的概率都是$\frac{1}{2}$，他們能通過B大學(xué)的概率都是$\frac{2}{3}$．
（1）求甲只通過一所大學(xué)考試的概率；
（2）設(shè)三名學(xué)生中同時通過兩所大學(xué)考試的人數(shù)為X，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）記甲通過A大學(xué)而不通過B大學(xué)考試為事件E，甲通過B大學(xué)而不通過A大學(xué)考試為事件F，分別求出P（E）、P（F），能求出甲只通過一所大學(xué)考試的概率．
（2）每名學(xué)生同時通過兩所大學(xué)考試的概率P=$\frac{1}{3}$，三名學(xué)生同時通過兩所大學(xué)考試的人數(shù)X～B（3，$\frac{1}{3}$），由此能求出X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記甲通過A大學(xué)而不通過B大學(xué)考試為事件E，
甲通過B大學(xué)而不通過A大學(xué)考試為事件F，
則P（E）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，P（F）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴甲只通過一所大學(xué)考試的概率P=P（E）+P（F）=$\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$．
（2）每名學(xué)生同時通過兩所大學(xué)考試的概率P=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
三名學(xué)生同時通過兩所大學(xué)考試的人數(shù)X～B（3，$\frac{1}{3}$），
P（X=0）=$（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）$=$\frac{2}{9}$，
P（X=3）=（$\frac{1}{3}$）³=$\frac{1}{27}$，
∴三名學(xué)生同時通過兩所大學(xué)考試的人數(shù)X的概率分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{1}{27}$

∴EX=$0×\frac{8}{27}+1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}+3×\frac{1}{27}$=1．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．