Question

3．如圖，在三棱柱A₁B₁C₁-A₂B₂C₂中，各側(cè)棱均垂直于底面，∠A₁B₁C₁=90°，A₁B₁=B₁C₁=3，C₁M=2B₁N=2，則直線B₁C₁與平面A₁MN所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{11}}{11}$．

Answer 1

分析 以B₁為原點，B₁A₁為x軸，B₁C₁為y軸，B₁B₂為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線B₁C₁與平面A₁MN所成角的正弦值．

解答 解：∵在三棱柱A₁B₁C₁-A₂B₂C₂中，各側(cè)棱均垂直于底面，∠A₁B₁C₁=90°，A₁B₁=B₁C₁=3，C₁M=2B₁N=2，
∴以B₁為原點，B₁A₁為x軸，B₁C₁為y軸，B₁B₂為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（0，0，0），C₁（0，3，0），A₁（3，0，0），N（0，0，1），M（0，3，2），
$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（0，3，0），$\overrightarrow{N{A}_{1}}$=（3，0，-1），$\overrightarrow{NM}$=（0，3，1），
設(shè)平面NA₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{N{A}_{1}}=3x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NM}=3y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，3），
設(shè)直線B₁C₁與平面A₁MN所成角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{3\sqrt{11}}$=$\frac{\sqrt{11}}{11}$．
∴直線B₁C₁與平面A₁MN所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{11}}{11}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{11}}}{11}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．