Question

18．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2\sqrt{3}+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（$θ-\frac{π}{3}$）=-3．
（1）把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程和把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線m：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與直線l交于Q點(diǎn)，記線段AB的中點(diǎn)為P，求|OP|•|OQ|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2\sqrt{3}+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得曲線C的普通方程．直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（$θ-\frac{π}{3}$）=-3，展開利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出．
（2）直線m：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為：y=xtanα，與直線l的方程聯(lián)立解得Q，可得|OQ|．圓心C$（2，2\sqrt{3}）$到直線m的距離d=$\frac{|2tanα-2\sqrt{3}|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$，|OC|═4．利用|OP|=$\sqrt{|OC{|}^{2}-igws4xg^{2}}$．可得|OP|•|OQ|．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2\sqrt{3}+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得：$（x-2）^{2}+（y-2\sqrt{3}）^{2}$=4．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos（$θ-\frac{π}{3}$）=-3，展開可得：$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$=-3，化為$x+\sqrt{3}$y+6=0．
（2）直線m：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）化為：y=xtanα，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=xtanα}\\{x+\sqrt{3}y+6=0}\end{array}\right.$，解得Q$（\frac{-6}{1+\sqrt{3}tanα}，\frac{-6tanα}{1+\sqrt{3}tanα}）$，
∴|OQ|=$\sqrt{（\frac{-6}{1+\sqrt{3}tanα}）^{2}+（\frac{-6tanα}{1+\sqrt{3}tanα}）^{2}}$=$\frac{6}{cosα+\sqrt{3}sinα}$．
圓心C$（2，2\sqrt{3}）$到直線m的距離d=$\frac{|2tanα-2\sqrt{3}|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$，|OC|=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4．
∴|OP|=$\sqrt{|OC{|}^{2}-i6lm5p4^{2}}$=$\frac{2|\sqrt{3}tanα-1|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$．
∴|OP|•|OQ|=$\frac{2|\sqrt{3}tanα-1|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$•$\frac{6}{cosα+\sqrt{3}sinα}$=$\frac{12|\sqrt{3}tanα-1|}{1+\sqrt{3}tanα}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與圓相交弦長(zhǎng)問題、點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．