Question

5．在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：CM⊥EM；
（2）求CM與平面CDE所成的角的正弦值；
（3）求二面角M-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB所在直線分別為x軸和y軸，過(guò)點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系C-xyz，利用向量法能證明EM⊥CM．
（2）求出平面CDE的法向量，利用向量法能求出CM與平面CDE所成的角的正弦值．
（3）求出平面CDE的法向量和平面EMC的法向量，利用向量法能求出二面角M-CE-D的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA，CB所在直線分別為x軸和y軸，
過(guò)點(diǎn)C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立直角坐標(biāo)系C-xyz，
設(shè)EA=a，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），E（2a，0，a），D（0，2a，2a），M（a，a，0）．
$\overrightarrow{EM}$=（-a，a，-a），$\overrightarrow{CM}$=（a，a，0），
∴$\overrightarrow{EM}$•$\overrightarrow{CM}$=0，∴EM⊥CM．
解：（2）C（0，0，0），M（a，a，0），E（2a，0，a），D（0，2a，2a），
$\overrightarrow{CM}$=（a，a，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，2a，2a），$\overrightarrow{CE}$=（2a，0，a），
設(shè)平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=2ay+2az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=2ax+az=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-2），
設(shè)向量CM與平面CDE所成的角為θ，
則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CM}|}$=$\frac{3a}{\sqrt{2}a•\sqrt{9}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴CM與平面CDE所成的角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）平面CDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，2，-2），
設(shè)平面EMC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
∵$\overrightarrow{EM}$（-a，a，-a），$\overrightarrow{CM}$=（a，a，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EM}=-a{x}_{1}+a{y}_{1}-a{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=a{x}_{1}+a{y}_{1}=0}\end{array}\right.$取x₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-2），
設(shè)二面角M-CE-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{9}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角M-CE-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．