Question

3．不等式$\sqrt{1-{x^2}}$+kx+1≥0對于x∈[-1，1]恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是[-1，1]．

Answer 1

分析 將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：不等式$\sqrt{1-{x^2}}$+kx+1≥0對于x∈[-1，1]恒成立，
等價為$\sqrt{1-{x^2}}$+1≥-kx對于x∈[-1，1]恒成立，
設(shè)y=$\sqrt{1-{x^2}}$+1（y≥1），則等價為x²+（y-1）²=1對應(yīng)的軌跡為以（0，1）為圓心，半徑為1的上半圓，
則A（1，1），B（-1，1），
若$\sqrt{1-{x^2}}$+1≥-kx對于x∈[-1，1]恒成立，
則等價為A，B在直線y=-kx的上方或在直線上即可，
即A（1，1），B（-1，1），在不等式y(tǒng)≥-kx對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{1≥-k}\\{1≥k}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≥-1}\\{k≤1}\end{array}\right.$，解得-1≤k≤1，
故答案為：[-1，1]．

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．