Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x+m-x³，g（x）=ln（x+1）+2．
（1）若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線斜率為1，求實數(shù)m的值；
（2）當m≥1時，證明：f（x）＞g（x）-x³．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得m；
（2）f（x）＞g（x）-x³即為e^x+m＞ln（x+1）+2．由函數(shù)y=e^x-x-1，求得最小值，可得e^x≥x+1，則e^x+m＞x+m+1，再由h（x）=x+m+1-ln（x+1）-2=x+m-ln（x+1）-1，求出導數(shù)，求得最小值，由條件即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x+m-x³的導數(shù)為f′（x）=e^x+m-3x²，
在點（0，f（0））處的切線斜率為k=e^m=1，
解得m=0；
（2）證明：f（x）＞g（x）-x³即為
e^x+m＞ln（x+1）+2．
由y=e^x-x-1的導數(shù)為y′=e^x-1，
當x＞0時，y′＞0，函數(shù)遞增；當x＜0時，y′＜0，函數(shù)遞減．
即有x=0處取得極小值，也為最小值0．
即有e^x≥x+1，則e^x+m≥x+m+1，
由h（x）=x+m+1-ln（x+1）-2=x+m-ln（x+1）-1，
h′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$，當x＞0時，h′（x）＞0，h（x）遞增；
-1＜x＜0時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=0處取得最小值，且為m-1，
當m≥1時，即有h（x）≥m-1≥0，
即x+m+1≥ln（x+1）+2，
則有f（x）＞g（x）-x³成立．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用構造法，以及不等式的傳遞性，考查推理能力，屬于中檔題．