Question

10．S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₄=S₂+2，則S₆的最小值為6．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，討論公比q=1和q≠1時(shí)，求出S₆的表達(dá)式，利用立方差與立方和公式，再結(jié)合基本不等式求出最小值．

解答 解：∵S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
且S₄=S₂+2，
∴當(dāng)q=1時(shí)，4a₁=2a₁+2，
解得a₁=1，
∴S₆=6a₁=6；
當(dāng)q≠1時(shí)，有a₁q³+a₁q²=2，
∴a₁q²（1+q）=2，
∴a₁=$\frac{2}{{q}^{2}（1+q）}$；
∴S₆=$\frac{{a}_{1}（1{-q}^{6}）}{1-q}$
=$\frac{{a}_{1}（1-q）（1+q{+q}^{2}）（1{+q}^{3}）}{1-q}$
=a₁（1+q+q²）（1+q³）
=$\frac{2（1+q{+q}^{2}）（1+q）（1{-q+q}^{2}）}{{q}^{2}（1+q）}$
=2•$\frac{{（1{+q}^{2}）}^{2}{-q}^{2}}{{q}^{2}}$
=2•[（$\frac{1}{{q}^{2}}$+q²）+1]
≥2•[2$\sqrt{\frac{1}{{q}^{2}}{•q}^{2}}$+1]=6，
當(dāng)且僅當(dāng)q=-1時(shí)取“=”；
綜上，S₆的最小值為6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的應(yīng)用問題，也考查了基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．