已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F（1，0），A、B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，D是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且△ADB面積的最大值為
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在一定點(diǎn)E（x0，0）（0＜x0＜
2
），使得當(dāng)過點(diǎn)E的直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，
1
|
EA
|2
+
1
|
EB
|2
為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．由于△ADB面積的最大值為
2
，可得ab=
2
．聯(lián)立
ab=
2
c=1
a2=b2+c2
，解得即可得出．
（2）當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的參數(shù)方程為
x=x0+tcosθ
y=tsinθ
（t為參數(shù)），代入橢圓方程可得：（1+sin2θ）t2+2tx0cosθ+
x
2
0
-2=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：
1
|
EA
|2
+
1
|
EB
|2
=
1
t
2
1
+
1
t
2
2
=
(t1+t2)2-2t1t2
(t1t2)2
=
4
x
2
0
cos2θ-(2
x
2
0
-4)sin2θ-(2
x
2
0
-4)
(
x
2
0
-2)2
．令4
x
2
0
=-(2
x
2
0
-4)，解得
x
2
0
=
2
3
．即可得出．
解答： 解：（1）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
∵△ADB面積的最大值為
2
，∴
1
2
•2a•b=
2
，即ab=
2
．
聯(lián)立
ab=
2
c=1
a2=b2+c2
，解得a=
2
，b=c=1．
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1．
（2）假設(shè)存在一定點(diǎn) E（x0，0）（0＜x0＜
2
），使得當(dāng)過點(diǎn) E的直線l與曲線C相交于 A，B兩點(diǎn)時(shí)，
1
|
EA
|2
+
1
|
EB
|2
為定值．
當(dāng)l⊥x軸時(shí)，把x0代入橢圓方程可得y2=(1-
x
2
0
2
)，
∴
1
|
EA
|2
+
1
|
EB
|2
=
2
2-
x
2
0
×2=
4
2-
x
2
0
．
當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的參數(shù)方程為
x=x0+tcosθ
y=tsinθ
（t為參數(shù)），代入橢圓方程可得：（1+sin2θ）t2+2tx0cosθ+
x
2
0
-2=0，
t1+t2=-
2x0cosθ
1+sin2θ
，t1t2=
x
2
0
-2
1+sin2θ
．
∴
1
|
EA
|2
+
1
|
EB
|2
=
1
t
2
1
+
1
t
2
2
=
(t1+t2)2-2t1t2
(t1t2)2

=
(
2x0cosθ
1+sin2θ
)2-
2(
x
2
0
-2)
1+sin2θ
(
x
2
0
-2
1+sin2θ
)2

=
4
x
2
0
cos2θ-2(
x
2
0
-2)(1+sin2θ)
(
x
2
0
-2)2

=
4
x
2
0
cos2θ-(2
x
2
0
-4)sin2θ-(2
x
2
0
-4)
(
x
2
0
-2)2
．
令4
x
2
0
=-(2
x
2
0
-4)，解得
x
2
0
=
2
3
．
此式=
8
3
-(
4
3
-4)
(-
4
3
)2
=3．
此時(shí)
4
2-
x
2
0
=3．
因此存在一定點(diǎn) E（
6
3
，0）（0＜
6
3
＜
2
），使得當(dāng)過點(diǎn) E的直線l與曲線C相交于 A，B兩點(diǎn)時(shí)，
1
|
EA
|2
+
1
|
EB
|2
為定值3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用、定長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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由“a＞b，則a+c＞b+c”推理到“a＞b，則ac＞bc”是（　�。�
A、歸納推理B、類比推理
C、演繹推理D、都不是

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雙曲線x2-y2=1的漸近線方程為
 
．

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已知曲線C1：
x=1+tcos135°
y=-1+tsin135°
（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極坐標(biāo)軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）求曲線C1與曲線C2相交的弦長；
（2）求曲線C1與曲線C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）

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正三棱錐的三視圖如圖所示，則其外接球的體積為（　�。�
A、9
2
π
B、
81
16
2
π
C、18π
D、6π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l1：y=x+a和l1：y=x+b將單位圓C：x2+y2=1分成長度相等的四段弧，則a2+b2=
 
．

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設(shè)函數(shù)f（x）可導(dǎo)，則
lim
△x→0
f(1+△x)-f(1)
△x
=（　�。�
A、f′（1）
B、f′（x）
C、-f′（1）
D、-f′（x）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（
3
，1），
b
=（0，1），
c
=（k，
3
），若（
a
+3
b
）⊥
c
，則k=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某學(xué)校準(zhǔn)備購買一批電腦，在購買前進(jìn)行的市場調(diào)查顯示：在相同品牌、質(zhì)量與售后服務(wù)的條件下，甲、乙兩公司的報(bào)價(jià)都是每臺(tái)6000元．甲公司的優(yōu)惠條件是購買10臺(tái)以上的，從第11臺(tái)開始按報(bào)價(jià)的七折計(jì)算，乙公司的優(yōu)惠條件是均按八五折計(jì)算．
（1）分別寫出在兩公司購買電腦的總費(fèi)用y甲、y乙與購買臺(tái)數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)購買的臺(tái)數(shù)，你認(rèn)為學(xué)校應(yīng)選擇哪家公司更合算？

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