已知橢圓C的中心在坐標原點,右焦點為F(1,0),A、B是橢圓C的左、右頂點,D是橢圓C上異于A、B的動點,且△ADB面積的最大值為
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在一定點E(x0,0)(0<x0
2
),使得當過點E的直線l與曲線C相交于A,B兩點時,
1
|
EA
|
2
+
1
|
EB
|
2
為定值?若存在,求出定點和定值;若不存在,請說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)設橢圓C的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.由于△ADB面積的最大值為
2
,可得ab=
2
.聯(lián)立
ab=
2
c=1
a2=b2+c2
,解得即可得出.
(2)當l與x軸不垂直時,設直線l的參數(shù)方程為
x=x0+tcosθ
y=tsinθ
(t為參數(shù)),代入橢圓方程可得:(1+sin2θ)t2+2tx0cosθ+
x
2
0
-2
=0,利用根與系數(shù)的關系可得:
1
|
EA
|
2
+
1
|
EB
|
2
=
1
t
2
1
+
1
t
2
2
=
(t1+t2)2-2t1t2
(t1t2)2
=
4
x
2
0
cos2θ-(2
x
2
0
-4)sin2θ-(2
x
2
0
-4)
(
x
2
0
-2)2
.令4
x
2
0
=-(2
x
2
0
-4)
,解得
x
2
0
=
2
3
.即可得出.
解答: 解:(1)設橢圓C的標準方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

∵△ADB面積的最大值為
2
,∴
1
2
•2a•b
=
2
,即ab=
2

聯(lián)立
ab=
2
c=1
a2=b2+c2
,解得a=
2
,b=c=1.
∴橢圓C的方程為
x2
2
+y2
=1.
(2)假設存在一定點 E(x0,0)(0<x0
2
),使得當過點 E的直線l與曲線C相交于 A,B兩點時,
1
|
EA
|
2
+
1
|
EB
|
2
為定值.
當l⊥x軸時,把x0代入橢圓方程可得y2=(1-
x
2
0
2
)

1
|
EA
|
2
+
1
|
EB
|
2
=
2
2-
x
2
0
×2=
4
2-
x
2
0

當l與x軸不垂直時,設直線l的參數(shù)方程為
x=x0+tcosθ
y=tsinθ
(t為參數(shù)),代入橢圓方程可得:(1+sin2θ)t2+2tx0cosθ+
x
2
0
-2
=0,
t1+t2=-
2x0cosθ
1+sin2θ
,t1t2=
x
2
0
-2
1+sin2θ

1
|
EA
|
2
+
1
|
EB
|
2
=
1
t
2
1
+
1
t
2
2
=
(t1+t2)2-2t1t2
(t1t2)2

=
(
2x0cosθ
1+sin2θ
)2-
2(
x
2
0
-2)
1+sin2θ
(
x
2
0
-2
1+sin2θ
)2

=
4
x
2
0
cos2θ-2(
x
2
0
-2)(1+sin2θ)
(
x
2
0
-2)2

=
4
x
2
0
cos2θ-(2
x
2
0
-4)sin2θ-(2
x
2
0
-4)
(
x
2
0
-2)2

4
x
2
0
=-(2
x
2
0
-4)
,解得
x
2
0
=
2
3

此式=
8
3
-(
4
3
-4)
(-
4
3
)2
=3.
此時
4
2-
x
2
0
=3.
因此存在一定點 E(
6
3
,0)(0<
6
3
2
),使得當過點 E的直線l與曲線C相交于 A,B兩點時,
1
|
EA
|
2
+
1
|
EB
|
2
為定值3.
點評:本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、直線的參數(shù)方程及其應用、定長問題,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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2
π
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81
16
2
π
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lim
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a
=(
3
,1),
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a
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b
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c
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