Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，右焦點為F（1，0），A、B是橢圓C的左、右頂點，D是橢圓C上異于A、B的動點，且△ADB面積的最大值為

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在一定點E（x₀，0）（0＜x₀＜

2

），使得當過點E的直線l與曲線C相交于A，B兩點時，

1

| EA |2

+

1

| EB |2

為定值？若存在，求出定點和定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由于△ADB面積的最大值為

2

，可得ab=

2

．聯(lián)立

ab= 2 c=1 a2=b2+c2

，解得即可得出．
（2）當l與x軸不垂直時，設直線l的參數(shù)方程為

x=x0+tcosθ y=tsinθ

（t為參數(shù)），代入橢圓方程可得：（1+sin²θ）t²+2tx₀cosθ+

x

2 0

-2=0，利用根與系數(shù)的關系可得：

1

| EA |2

+

1

| EB |2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

4 x 2 0 cos2θ-(2 x 2 0 -4)sin2θ-(2 x 2 0 -4)

( x 2 0 -2)2

．令4

x

2 0

=-(2

x

2 0

-4)，解得

x

2 0

=

2

3

．即可得出．

解答： 解：（1）設橢圓C的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵△ADB面積的最大值為

2

，∴

1

2

•2a•b=

2

，即ab=

2

．
聯(lián)立

ab= 2 c=1 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）假設存在一定點 E（x₀，0）（0＜x₀＜

2

），使得當過點 E的直線l與曲線C相交于 A，B兩點時，

1

| EA |2

+

1

| EB |2

為定值．
當l⊥x軸時，把x₀代入橢圓方程可得y²=(1-

x 2 0

2

)，
∴

1

| EA |2

+

1

| EB |2

=

2

2- x 2 0

×2=

4

2- x 2 0

．
當l與x軸不垂直時，設直線l的參數(shù)方程為

x=x0+tcosθ y=tsinθ

（t為參數(shù)），代入橢圓方程可得：（1+sin²θ）t²+2tx₀cosθ+

x

2 0

-2=0，
t₁+t₂=-

2x0cosθ

1+sin2θ

，t1t2=

x 2 0 -2

1+sin2θ

．
∴

1

| EA |2

+

1

| EB |2

=

1

t 2 1

+

1

t 2 2

=

(t1+t2)2-2t1t2

(t1t2)2

=

( 2x0cosθ 1+sin2θ )2- 2( x 2 0 -2) 1+sin2θ

( x 2 0 -2 1+sin2θ )2

=

4 x 2 0 cos2θ-2( x 2 0 -2)(1+sin2θ)

( x 2 0 -2)2

=

4 x 2 0 cos2θ-(2 x 2 0 -4)sin2θ-(2 x 2 0 -4)

( x 2 0 -2)2

．
令4

x

2 0

=-(2

x

2 0

-4)，解得

x

2 0

=

2

3

．
此式=

8 3 -( 4 3 -4)

(- 4 3 )2

=3．
此時

4

2- x 2 0

=3．
因此存在一定點 E（

6

3

，0）（0＜

6

3

＜

2

），使得當過點 E的直線l與曲線C相交于 A，B兩點時，

1

| EA |2

+

1

| EB |2

為定值3．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交弦長問題、直線的參數(shù)方程及其應用、定長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．