Question

16．是否存在常數(shù)a、b使得1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（na-b）+$\frac{1}{4}$對一切n∈N^*都成立？若存在，請求出a、b的值并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 假設(shè)存在a，b，使得所給等式成立．通過n=1，2，列出方程組，求出a，b即可．然后用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對一切正整數(shù)n都成立．

解答 解：n=1時(shí)，1=3（a-b）+$\frac{1}{4}$，n=2時(shí)，1+2×3=9（2a-b）+$\frac{1}{4}$，
所以a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$，
所以1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$．
用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1+2×3+3×3²+4×3²+…+n×3^n-1=3ⁿ（$\frac{1}{2}$n-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由以上可知等式成立；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即1+2×3+3×3²+4×3²+…+k×3^k-1=3^k（$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{4}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1+2×3+3×3²+4×3²+…+k×3^k-1+（k+1）×3^k=3^k（$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{4}$）+（k+1）×3^k+$\frac{1}{4}$
=3^k+1[$\frac{1}{2}$（k+1）-$\frac{1}{4}$]+$\frac{1}{4}$
由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù)n都成立

點(diǎn)評(píng) 本題是探索性命題，它通過觀察歸納、猜想、證明這一完整的思路過程去探索和發(fā)現(xiàn)問題，并證明所得結(jié)論的正確性，這是非常重要的一種思維能力．