Question

5．已知方程$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$=k在（0，+∞）上有兩個不同的解a，b（a＜b），則下面結(jié)論正確的是（　　）

• A． sina=acosb
• B． sina=-acosb
• C． cosa=bsinb
• D． sinb=-bsina

Answer 1

分析 化簡方程$\frac{{|{sinx}|}}{x}$=k有兩不同的解a，b，畫出兩個函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，π）上有一個交點A（a，sina），在（π，2π）上有一個切點B（b，sinb）時滿足題意，a，b是方程的根．然后求出在B處的切線，通過O，A B三點共線，推出結(jié)果．

解答 解：∵方程$\frac{|cos（x-\frac{π}{2}）|}{x}$=k有兩不同的解a，b，∴方程$\frac{{|{sinx}|}}{x}$=k有兩不同的解a，b，
∴函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，+∞）上有兩交點，作出兩個函數(shù)的圖象，

函數(shù)y=|sinx|和函數(shù)y=kx在（0，π）上有一個交點A（a，sina），
在（π，2π）上有一個切點B（b，sinb）時滿足題意，a，b是方程的根．
當(dāng)x∈（π，2π）時，f（x）=|sinx|=-sinx，f′（x）=-cosx，
∴在B處的切線為y-sinb=f′（b）（x-b），將x=0，y=0代入方程，得sinb=-bcosb，
∴$\frac{sinb}$=-cosb，∵O，A B三點共線，∴$\frac{-sina}{a}$=$\frac{sinb}$，
∴$\frac{sina}{a}$=-cosb，∴sina=-acosb．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的零點與方程的跟的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，函數(shù)的切線方程的求法與應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．