Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC=45°，AD=AC=1，PO⊥平面ABCD，O點在AC上，PO=2，M為PD中點．
（1）證明：AD⊥平面PAC；
（2）求三棱錐M-ACD的體積．

Answer 1

分析 （1）由PO⊥平面ABCD可得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC可知△ACD是直角三角形，AC⊥AD．故AD⊥平面PAC；
（2）由M為中點可知M到底面的距離為$\frac{1}{2}$PO，把△ACD看做棱錐的底面，則棱錐的高為$\frac{1}{2}PO$，代入體積公式計算．

解答 證明：（1）∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC=45°，∴AD⊥AC．
∵PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PO⊥AD，又∵AC?平面PAC，PO?平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．
（2）∵M是PD的中點，∴M到平面ABCD的距離d=$\frac{1}{2}$PO=1．
S_△ACD=$\frac{1}{2}AD×AC$=$\frac{1}{2}$．
∴三棱錐M-ACD的體積V=$\frac{1}{3}$S_△ACD•d=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．