Question

10．經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)（以30天計），第t天（1≤t≤30，t∈N^*）的旅游人數(shù)f（t）（單位：萬人）近似地滿足f（t）=4+$\frac{1}{t}$，而人均日消費俄g（t）（單位：元）近似地滿足g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+100，1≤t≤20}\\{-t+140，20＜t≤30}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）試求所有游客在該城市旅游的日消費總額W（t）（單位：萬元）與時間t（1≤t≤30，t∈N^*）的函數(shù)表達式；
（Ⅱ）求所有游客在該城市旅游的日消費總額的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用日消費總額=日旅游人數(shù)×人均消費的錢數(shù)，化簡即得結論；
（2）通過（1）可知當t∈[1，20]時利用基本不等式可知當且僅當t=5時取最小值441，當t∈（20，30]時利用函數(shù)的單調(diào)性可知當t=30時W（t）有最小值443+$\frac{2}{3}$，進而比較即得結論．

解答 解：（1）由題意，根據(jù)該城市的旅游日消費總額=日旅游人數(shù)×人均消費的錢數(shù)，
可得：W（t）=f（t）g（t）
=$\left\{\begin{array}{l}{401+4t+\frac{100}{t}，1≤t≤20}\\{559+\frac{140}{t}-4t，20＜t≤30}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知：當t∈[1，20]時，401+4t+$\frac{100}{t}$≥401+2$\sqrt{4t•\frac{100}{t}}$=441，
當且僅當4t=$\frac{100}{t}$即t=5時取等號；
當t∈（20，30]時，因為W（t）=559+$\frac{140}{t}$-4t遞減，
所以t=30時，W（t）有最小值W（30）=443+$\frac{2}{3}$，
∵443+$\frac{2}{3}$＞441，
∴t∈[1，30]時，W（t）的最小值為441萬元．

點評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．