Question

10．經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），第t天（1≤t≤30，t∈N^*）的旅游人數(shù)f（t）（單位：萬人）近似地滿足f（t）=4+$\frac{1}{t}$，而人均日消費(fèi)俄g（t）（單位：元）近似地滿足g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t+100，1≤t≤20}\\{-t+140，20＜t≤30}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）試求所有游客在該城市旅游的日消費(fèi)總額W（t）（單位：萬元）與時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N^*）的函數(shù)表達(dá)式；
（Ⅱ）求所有游客在該城市旅游的日消費(fèi)總額的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用日消費(fèi)總額=日旅游人數(shù)×人均消費(fèi)的錢數(shù)，化簡即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知當(dāng)t∈[1，20]時(shí)利用基本不等式可知當(dāng)且僅當(dāng)t=5時(shí)取最小值441，當(dāng)t∈（20，30]時(shí)利用函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)t=30時(shí)W（t）有最小值443+$\frac{2}{3}$，進(jìn)而比較即得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，根據(jù)該城市的旅游日消費(fèi)總額=日旅游人數(shù)×人均消費(fèi)的錢數(shù)，
可得：W（t）=f（t）g（t）
=$\left\{\begin{array}{l}{401+4t+\frac{100}{t}，1≤t≤20}\\{559+\frac{140}{t}-4t，20＜t≤30}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知：當(dāng)t∈[1，20]時(shí)，401+4t+$\frac{100}{t}$≥401+2$\sqrt{4t•\frac{100}{t}}$=441，
當(dāng)且僅當(dāng)4t=$\frac{100}{t}$即t=5時(shí)取等號；
當(dāng)t∈（20，30]時(shí)，因?yàn)閃（t）=559+$\frac{140}{t}$-4t遞減，
所以t=30時(shí)，W（t）有最小值W（30）=443+$\frac{2}{3}$，
∵443+$\frac{2}{3}$＞441，
∴t∈[1，30]時(shí)，W（t）的最小值為441萬元．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．