Question

2．已知函數(shù)f（x）=ax²-2bx+3，A={1，2，3，4}，B={-2，-1，1，2，3}，分別從集合A，B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b．
（1）求方程f（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根的概率；
（2）求函數(shù)y=f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 利用乘法原理可求出基本事件的總數(shù)．
（1）利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根（函數(shù)有零點(diǎn)）的充要條件即可得出所包括基本事件的個(gè)數(shù)；
（2）利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出所包括的基本事件的個(gè)數(shù)．

解答 解：A={1，2，3，4}，B={-2，-1，1，2，3}，分別從集合A，B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，共有4×5=20種情況．
（1）滿足△=4b²-12a＞0，即b²＞3a，有（-2，1），（2，1），（3，2）共3種情況．
∴函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)的概率P=$\frac{3}{20}$．
（2）二次函數(shù)f（x）=ax²-2bx+3的對(duì)稱軸x=$\frac{a}$，
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，∴$\frac{a}$≤1，即a≥b
有（1，-2），（1，-1），（1，1），
（2，-2），（2，-1），（2，1），（2，2），
（3，-2），（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），
（4，-2），（4，-1），（4，1），（4，2），（4，3），共17種情況．
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率P=$\frac{17}{20}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了乘法原理、一元二次方程有實(shí)數(shù)根（函數(shù)有零點(diǎn)）的充要條件、二次函數(shù)的單調(diào)性、古典概型的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．