Question

如圖，直線PO⊥平面M，垂足為O，直線PA是平面M的一條斜線，斜足為A，其中∠APO=α，過點P的動直線PB交平面M于點B，∠APB=β，則下列說法正確的是

 

①若α=0°，β=90°，則動點B的軌跡是一個圓；
②若α≠0°，β=90°，則動點B的軌跡是一條直線；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，則動點B的軌跡是拋物線；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，則動點B的軌跡是橢圓；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，則動點B的軌跡是雙曲線．

Answer 1

考點：圓錐曲線的共同特征

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①若α=0°，則O，A重合，β=90°，則動點B的軌跡是一個與PO垂直的平面；
②若α≠0°，β=90°，則動點B的軌跡是一條與PA垂直的直線；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，則過點P的動直線PB的軌跡是圓錐面，平面M與PA平行，平面M與圓錐面的交線是拋物線，所以動點B的軌跡是拋物線；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，則過點P的動直線PB的軌跡是圓錐面，平面M與圓錐面的交線是雙曲線，所以動點B的軌跡是雙曲線；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，則過點P的動直線PB的軌跡是圓錐面，平面M與圓錐面的交線是橢圓，所以動點B的軌跡是橢圓．

解答： 解：①若α=0°，則O，A重合，β=90°，則動點B的軌跡是一個與PO垂直的平面，故①不正確；
②若α≠0°，β=90°，則動點B的軌跡是一條與PA垂直的直線，故②正確；
③若α≠0°，β≠90°且α+β=90°，則過點P的動直線PB的軌跡是圓錐面，平面M與PA平行，平面M與圓錐面的交線是拋物線，所以動點B的軌跡是拋物線，故③正確；
④α≠0°，β≠90°且α+β＞90°，則過點P的動直線PB的軌跡是圓錐面，平面M與圓錐面的交線是雙曲線，所以動點B的軌跡是雙曲線，故④不正確；
⑤α≠0°，β≠90°且α+β＜90°，則過點P的動直線PB的軌跡是圓錐面，平面M與圓錐面的交線是橢圓，所以動點B的軌跡是橢圓，故⑤不正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查軌跡方程，考查平面與圓錐面的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．