Question

9．定義運算：m⊕n=$\left\{\begin{array}{l}{m（m≥n）}\\{n（m＜n）}\end{array}\right.$，設(shè)函數(shù)f（x）=e^x⊕1，給出如下4個命題：
①存在實數(shù)a，使f（a）•f（-a）=1；②任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
③存在實數(shù)a，b，使f（a）+f（b）=f（ab）；④任意a，b∈R，都有f（a）•f（b）≥f（a+b）．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由題意知f（x）=e^x⊕1=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，從而依次對四個命題判斷：
①舉例a=0時即可，
②以ab的取值分類討論，從而證明；
③舉例a=b=-$\sqrt{ln2}$時即可，
④以a+b的取值分類討論，從而證明．

解答 解：由題意知，
f（x）=e^x⊕1=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，
①當(dāng)a=0時，f（a）•f（-a）=1，故成立；
②當(dāng)ab=0時，f（ab）=1，f（a²）≥1，f（b²）≥1，
故f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
當(dāng)ab＜0時，f（ab）=1，f（a²）＞1，f（b²）＞1，
故f（a²）+f（b²）≥2f（ab）；
當(dāng)ab＞0時，f（ab）=e^ab，f（a²）=${e}^{{a}^{2}}$，f（b²）=${e}^{^{2}}$，
故f（a²）+f（b²）=${e}^{{a}^{2}}$+${e}^{^{2}}$
≥2$\sqrt{{e}^{{a}^{2}}{e}^{^{2}}}$=2$\sqrt{{e}^{{a}^{2}+^{2}}}$
=2$\sqrt{{e}^{2ab}}$=2f（ab）；
故對任意a，b∈R，都有f（a²）+f（b²）≥2f（ab），故成立；
③當(dāng)a=b=-$\sqrt{ln2}$時，
f（a）+f（b）=2=f（ab）=2，故成立；
④當(dāng)a+b≤0時，f（a+b）=1，
故f（a）•f（b）≥f（a+b）；
當(dāng)a+b＞0時，
若ab≥0，f（a）•f（b）=e^a•e^b=e^a+b=f（a+b），
若ab＜0，則不妨設(shè)a＜0，
則f（a）•f（b）=e^b＞e^a+b=f（a+b）；
故對任意a，b∈R，都有f（a）•f（b）≥f（a+b），故成立．
故選：D．

點評 本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用．