Question

10．若非零函數(shù)f（x）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b均有f（a+b）=f（a）?f（b），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：$f（-x）=\frac{1}{f（x）}$；
（3）求證：f（x）＞0；
（4）求證：f（x）為減函數(shù)；
（5）當(dāng)$f（4）=\frac{1}{16}$時(shí)，解不等式f（x²+x-3）?f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)抽象函數(shù)，利用賦值法取a=b=0，即可求出f（0）=1；
（2）取a=x，b=-x，即可證明
（3）結(jié)合（2）可得x＞0時(shí)，f（x）∈（0，1），再結(jié)合（1）知f（x）＞0，x∈R．
（4）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）為R上的減函數(shù)；
（5）利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，解不等式即可．

解答 解：（1）取a=b=0，得f（0）=[f（0）]²，而f（x）≠0，所以f（0）=1．
證明：（2）取a=x，b=-x，則f（0）=f（x）•f（-x）=1，則$f（-x）=\frac{1}{f（x）}$．
證明：（3）由（2）及x＜0時(shí)，f（x）＞1，可知$f（-x）=\frac{1}{f（x）}$∈（0，1），
即x＞0時(shí)，f（x）∈（0，1）．
再結(jié)合（1）知f（x）＞0，x∈R．
證明：（4）當(dāng)b＜0時(shí)，a+b＜a，f（b）＞1，f（a）＞0，
∴f（a+b）=f（a）?f（b）＞f（a）?1=f（a），
故f（x）為減函數(shù)．
（5）∵$\frac{1}{16}=f（4）=f（2+2）=f（2）•f（2）$，且f（2）＞0，
∴$f（2）=\frac{1}{4}$．
于是不等式f（x²+x-3）?f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$可以化為f（x+2）≤f（2），
再由f（x）為R上的減函數(shù)得
x+2≥2⇒x≥0
∴不等式的解集為[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的定義，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．