Question

6．四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=$\frac{7}{2}$，若該四棱錐的所有項點都在同一球面上，則該球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{81π}{2}$
• B． $\frac{81π}{4}$
• C． 65π
• D． $\frac{65π}{2}$

Answer 1

分析 連結(jié)AC、BD，交于點E，則E是AC中點，取PC中點O，連結(jié)OE，推導(dǎo)出O是該四棱錐的外接的球心，球半徑R=$\frac{1}{2}PC$，由此能求出該球的表面積．

解答 解：四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，PA=$\frac{7}{2}$，
連結(jié)AC、BD，交于點E，則E是AC中點，取PC中點O，連結(jié)OE，
則OE∥PA，∴OE⊥平面ABCD，∴O到該四棱錐的所有頂點的距離相等，都為$\frac{1}{2}PC$，
∴O是該四棱錐的外接的球心，
該球半徑R=$\frac{1}{2}PC$=$\frac{1}{2}\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{49}{4}+8}$=$\frac{9}{4}$，
∴該球的表面積為S=4$π×（\frac{9}{4}）^{2}$=$\frac{81π}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查四面體的外接球的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．