Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正實數(shù)），滿足f（0）=g（0）；函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）+b定義域為D．
（1）求a的值；
（2）若存在x₀∈D，使F（x₀）=x₀成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若n為正整數(shù)，證明：${10^{f（n）}}•{（\frac{4}{5}）^{g（n）}}$＜4．
（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.3010，${（\frac{4}{5}）^9}$=0.1342，${（\frac{4}{5}）^{16}}$=0.0281，${（\frac{4}{5}）^{25}}$=0.0038）

Answer 1

分析 （1）由f（0）=g（0），解方程可得a=1；
（2）求得f（x）+g（x）+b的解析式，由條件討論x≥1，x＜1時，分離參數(shù)，解不等式可得b的范圍；
（3）設(shè)$G（n）={10^{f（{n\;}）}}•{（{\frac{4}{5}}）^{g（{\;n\;}）}}$，由n為正整數(shù)，化簡G（n），討論G（n）的單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）∵f（0）=g（0），即|a|=1，
又a＞0，∴a=1．         
（2）由（1）知，f（x）+g（x）+b=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3x+b，x≥1}\\{{x}^{2}+x+b+2，x＜1}\end{array}\right.$．
當x≥1時，有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．             
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此時b≤-3．       
當x＜1時，有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2  
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此時b≤-2．            
故要使得f（x）+g（x）+b在其定義域內(nèi)存在不動點，
則實數(shù)b的取值范圍應(yīng)（-∞，-2]；
（3）證明：設(shè)$G（n）={10^{f（{n\;}）}}•{（{\frac{4}{5}}）^{g（{\;n\;}）}}$．    
由n為正整數(shù)，
∴$G（n）={10^{n-1}}•（{\frac{4}{5}}）{\;^{{n^2}+2n+1}}＞0$．                    
∴$\frac{{G（{n+1}）}}{G（n）}=\frac{{{{10}^n}•（{\frac{4}{5}}）{\;^{{{（{n+1}）}^2}+2（{n+1}）+1}}}}{{{{10}^{n-1}}•（{\frac{4}{5}}）{\;^{{n^2}+2n+1}}}}=10×（{\frac{4}{5}}）{\;^{2n+3}}$．     
當$\frac{{G（{n+1}）}}{G（n）}＜1$時，$10×（{\frac{4}{5}}）{\;^{2n+3}}＜1$，即$（{2n+3}）lg（{\frac{4}{5}}）＜-1$，
亦即$2n+3＞\frac{-1}{3lg2-1}$，∴$n＞\frac{1}{2-6lg2}-\frac{3}{2}≈3.7$．                        
由于n為正整數(shù)，因此當1≤n≤3時，G（n）單調(diào)遞增；
當n≥4時，G（n）單調(diào)遞減．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．
又$G（3）={10^2}×{（{\frac{4}{5}}）^{16}}=100×0.0281=2.81$，
$G（4）={10^3}×{（{\frac{4}{5}}）^{25}}=1000×0.0038=3.8$，
∴G（n）≤G（4）＜4．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，同時考查不等式的證明，注意運用單調(diào)性，考查推理和運算求解能力，屬于中檔題．